Modified Duration 衡量的是:当利率变动 100 个基点( 1%),债券价格变动百分之几。

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$$ ModDur \approx \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = \frac{P_{-} – P_{+} }{2 \times \Delta r \times P_{0}} $$

其中:

  • 当利率下降时,债券价格从 \( P_{0} \) 升高到 \( P_{-} \)
  • 当利率上升时,债券价格从 \( P_{0} \) 下降到 \( P_{+} \) (显然 \( P_{-} > P_{+} \) )

Modified Duration 前面是暗含一个负号的,但是有时会省略掉。

Modified Duration 做的是 linear estimate(线性估计)。也就是说,假定了利率上涨 1% 和 下跌 1%,债券价格变动百分比是一样的。

$$ \frac{\Delta Price}{Price} \approx – ModDur \times \Delta Yield$$

Macaulay Duration & Modified Duration 的关系

由麦考利久期公式(以三期为例):

$$MacDur = \sum_{t=1}^{n}t \times \frac{PVCF_{t}}{P_{0}} = \frac{C_{1}}{1+r} + 2 \times \frac{C_{2}}{(1+r)^{2}} + 3 \times \frac{C_{3} +Par }{(1+r)^{3}} $$

$$P_{0} = \sum PVCF_{t} = \frac{C_{1}}{1+r} + \frac{C_{2}}{(1+r)^{2}} + \frac{C_{3} +Par }{(1+r)^{3}} $$

修正久期的公式:

$$ ModDur = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = \frac{1}{P} \times \frac{\Delta P}{\Delta r} = \frac{1}{P} \times \frac{d P}{d r} $$

可得:

$$ \frac{d P}{d r} = – \frac{C_{1}}{(1+r)^{2}} – 2 \times \frac{C_{2}}{(1+r)^{3}} – 3 \times \frac{C_{3}+Par}{(1+r)^{4}}$$

进而得到:

$$ ModDur = – \frac{1}{1+r} \times MacDur $$

Tips: 上面公式中的 r 用的是期间利率。如果coupon 是半年付息一次,r 应该是年化利率除以二。

永续债权的修正久期和麦考利久期如何计算?

$$P_{0} = \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^{2}} + \frac{C }{(1+r)^{3}}+…… $$

$$\frac{1}{1+r}P_{0} = \frac{C}{(1+r)^{2}} + \frac{C}{(1+r)^{3}} + \frac{C }{(1+r)^{4}}+…… $$

上面两式相减,我们得到了

永续债券的定价公式:

$$P_{0} = \frac{C}{r}$$

带入到修正久期的定义式,可得:

永续债券的修正久期:

$$ ModDur = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\Delta r} = – \frac{1}{r} $$

永续债券的麦考利久期:

$$ MacDur = \frac{1+r}{r} $$

由上面两个式子可以看出,永续债券的久期跟 coupon 金额大小无关。

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